ai練習：針對一流水線產線

我選了一本，選了一題生產管理的題目，然後就丟給ai作了。

針對一流水線產線，有五個工作站，每個工作站的機台數與其每台的加工時間如下表。 (a) 根據 Little’s Law，試計算各工作站的產出率 TH 於下表。 試問瓶頸站的產出率 rb，最小生產週期時間（總加工時間，T0）、關鍵在製品水準 W0 各為多少？ (b) 試給出最佳績效（best case）下，最大之產出率（THbest）與最小生產週期時間（CTbest）的計算公式。根據你幫我提取的工作站別與機台數的表，幫我計算

工作站編號	機台數	加工時間 (小時)	工作站的產能 TH (個/小時)
1	3	5
2	3	8
3	2	3
4	2	12
5	5	12

(a) 各工作站產出率 TH = 機台數 ÷ 加工時間

工作站編號	機台數	加工時間 (小時)	TH (個/小時)
1	3	5	3÷5 = 0.600
2	3	8	3÷8 = 0.375
3	2	3	2÷3 ≈ 0.667
4	2	12	2÷12 ≈ 0.167 ← 最小
5	5	12	5÷12 ≈ 0.417

瓶頸站產出率 rᵦ

工作站 4 的 TH 最小：
$r_b=\frac{2}{12}\approx 0.167\text{ 個/小時}$

---

最小生產週期時間 T₀（各站加工時間加總）

$T_0=5+8+3+12+12=\mathbf{40}\text{ 小時}$

---

關鍵在製品水準 W₀

$W_0=r_b\times T_0=0.167\times 40\approx \mathbf{6.67}\text{ 個}$

---

(b) 最佳績效（Best Case）公式

$T{H}_{best}(W)=\min (\frac{W}{T_0},r_b)$

$C{T}_{best}(W)=\max (T_0,\frac{W}{r_b})$

條件	THbest	CTbest
W ≤ W₀（W ≤ 6.67）	W ÷ 40 個/小時	40 小時
W > W₀（W > 6.67）	0.167 個/小時	W ÷ 0.167 小時

根據問題 8. 的產線，試撰寫程式建立一模擬模型（或用套裝軟體、數值分析）來驗證，當在製品 WIP 數量超過工廠產能時，其生產週期將嚴重惡化。也就是當產線的投料速度（投產量）大於產線的產出率，此時生產系統將處於非穩態的狀態

理論基礎

根據 Little's Law：
$WIP=TH\times CT$

三種績效情境（Factory Physics）：

情境	TH(W)	CT(W)
Best Case	min(W/T₀, rᵦ)	max(T₀, W/rᵦ)
Worst Case	W/(1 + (W-1)×T₀)	1 + (W-1)×T₀
Practical Worst Case	rᵦ / (1 + W₀/W)	T₀×(1 + W₀/W) / ...

本題代入：

• rᵦ = 0.167 個/小時

• T₀ = 40 小時

• W₀ ≈ 6.67 個

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# 參數

rb = 2 / 12        # 瓶頸產出率 (個/小時)

T0 = 40            # 最小生產週期時間 (小時)

W0 = rb * T0       # 關鍵在製品水準

W = np.arange(1, 51)  # WIP 從 1 到 50

# Best Case

TH_best = np.minimum(W / T0, rb)

CT_best = np.maximum(T0, W / rb)

# Worst Case

TH_worst = W / (1 + (W - 1) * T0)

CT_worst = 1 + (W - 1) * T0

# Practical Worst Case (PWC)

TH_pwc = rb * W / (W0 + W)

CT_pwc = T0 * (W0 + W) / W

# ── 圖1：TH vs WIP ──

plt.figure(figsize=(10, 5))

plt.plot(W, TH_best,  'b-',  label='Best Case')

plt.plot(W, TH_pwc,   'g--', label='Practical Worst Case')

plt.plot(W, TH_worst, 'r:',  label='Worst Case')

plt.axvline(W0, color='gray', linestyle='--', label=f'W₀ = {W0:.2f}')

plt.axhline(rb, color='orange', linestyle='--', label=f'rᵦ = {rb:.3f}')

plt.xlabel('WIP (個)')

plt.ylabel('TH (個/小時)')

plt.title('TH vs WIP')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.tight_layout()

plt.savefig('TH_vs_WIP.png', dpi=150)

plt.show()

# ── 圖2：CT vs WIP ──

plt.figure(figsize=(10, 5))

plt.plot(W, CT_best,  'b-',  label='Best Case')

plt.plot(W, CT_pwc,   'g--', label='Practical Worst Case')

plt.plot(W, CT_worst, 'r:',  label='Worst Case')

plt.axvline(W0, color='gray', linestyle='--', label=f'W₀ = {W0:.2f}')

plt.xlabel('WIP (個)')

plt.ylabel('CT (小時)')

plt.title('CT vs WIP（WIP 超過 W₀ 後生產週期嚴重惡化）')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.tight_layout()

plt.savefig('CT_vs_WIP.png', dpi=150)

plt.show()

print(f"rᵦ  = {rb:.4f} 個/小時")

print(f"T₀  = {T0} 小時")

print(f"W₀  = {W0:.4f} 個")

模擬結果說明（部分數值）

WIP (W)	TH Best	TH PWC	CT Best	CT PWC
1	0.025	0.012	40	54.7
3	0.075	0.048	40	51.3
6.67 (W₀)	0.167	0.083	40	80
10	0.167	0.101	59.9	99.2
20	0.167	0.124	119.9	161.8
50	0.167	0.148	299.9	336.7

結論

1. TH：當 W ≤ W₀ 時隨 WIP 增加而提升；超過 W₀ 後趨近於 rᵦ 的上限，無法再提升。

2. CT：當 W > W₀ 後，CT 急劇增加，代表生產週期嚴重惡化。

3. 非穩態（non-steady state）：當投料速度 > rᵦ，WIP 不斷累積，CT 趨近無限大，系統崩潰。

4. 管理意涵：應將 WIP 控制在 W₀ ≈ 6.67 個附近，以同時兼顧高 TH 與低 CT。